Kalkulator pierwiastków i potęg

Pierwiastek kwadratowy liczby x to taka liczba y, że y² = x. Na przykład √9 = 3, ponieważ 3² = 9. Pierwiastek kwadratowy jest zdefiniowany tylko dla liczb nieujemnych w zbiorze liczb rzeczywistych.

Pierwiastek sześcienny liczby x to liczba y taka, że y³ = x. Na przykład ∛27 = 3, bo 3³ = 27. W odróżnieniu od pierwiastka kwadratowego, pierwiastek sześcienny jest zdefiniowany również dla liczb ujemnych — ∛(−8) = −2.

Pierwiastek n-tego stopnia z liczby x to liczba y spełniająca warunek yⁿ = x. Dla parzystego n wymagamy, aby x ≥ 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych). Dla nieparzystego n pierwiastek istnieje także dla x < 0.

Potęgowanie to wielokrotne mnożenie podstawy przez siebie. aⁿ oznacza a pomnożone samo przez siebie n razy. Przykład: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Dla wykładnika 0 wynik wynosi zawsze 1 (a⁰ = 1, a ≠ 0).

Potęga ujemna a⁻ⁿ jest odwrotnością a^n, czyli a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Przykład: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0.125. Dzięki temu potęgowanie można rozszerzyć na wykładniki ujemne.

W zbiorze liczb rzeczywistych nie — pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje. W zbiorze liczb zespolonych możliwe jest obliczenie √(−1) = i (jednostka urojona). Kalkulator operuje na liczbach rzeczywistych i zwróci błąd dla ujemnych podstaw pierwiastka parzystego stopnia.

Pierwiastek n-tego stopnia z x jest równoważny potędze x^(1/n). Przykład: √9 = 9^(1/2) = 3, ∛8 = 8^(1/3) = 2. Dzięki temu można wyrazić każdy pierwiastek jako potęgę ułamkową.

Pierwiastek z ułamka p/q oblicza się jako √(p/q) = √p / √q. Przykład: √(4/9) = √4 / √9 = 2/3 ≈ 0.6667. Kalkulator obsługuje podstawy będące liczbami dziesiętnymi, więc można wpisać np. 0.25 jako podstawę.

Potęga ułamkowa x^(m/n) łączy potęgowanie i pierwiastkowanie: x^(m/n) = (x^m)^(1/n) = (ⁿ√x)^m. Przykład: 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4. Jest to uogólnienie, które rozszerza definicję potęgi na wszystkie wykładniki wymierne.

Wynika to z własności potęg: aⁿ / aⁿ = 1, a jednocześnie aⁿ / aⁿ = a^(n−n) = a⁰. Stąd a⁰ = 1 dla każdego a ≠ 0. Wyrażenie 0⁰ jest nieoznaczone i może być interpretowane jako 1 w kontekście kombinatoryki lub jako granica zależna od kontekstu.