Kalkulator ciągu arytmetycznego — wyraz ogólny i suma

Ciąg arytmetyczny to ciąg liczb, w którym różnica między każdym kolejnym wyrazem a poprzednim jest stała. Tę stałą wartość nazywamy różnicą ciągu i oznaczamy literą r. Na przykład ciąg 2, 5, 8, 11, 14... jest arytmetyczny, bo każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie 3 do poprzedniego (r = 3).

N-ty wyraz obliczamy ze wzoru a_n = a₁ + (n − 1) · r, gdzie a₁ to pierwszy wyraz, r to różnica, a n to numer szukanego wyrazu. Na przykład dla a₁ = 2, r = 3 dziesiąty wyraz wynosi a₁₀ = 2 + (10 − 1) · 3 = 2 + 27 = 29.

Sumę n początkowych wyrazów liczymy ze wzoru Sₙ = n · (a₁ + a_n) / 2, czyli mnożymy liczbę wyrazów przez średnią pierwszego i ostatniego wyrazu. Dla a₁ = 2, r = 3, n = 10 mamy a₁₀ = 29, więc S₁₀ = 10 · (2 + 29) / 2 = 10 · 31 / 2 = 155.

Różnica ciągu r to stała wartość, o jaką zmienia się każdy kolejny wyraz. Jeśli r jest dodatnie, ciąg rośnie; jeśli ujemne — maleje; jeśli r = 0, wszystkie wyrazy są równe. Różnicę można wyznaczyć, odejmując dowolny wyraz od następnego: r = a_(n+1) − a_n.

W ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy powstają przez DODAWANIE stałej różnicy r (np. 2, 5, 8, 11). W ciągu geometrycznym powstają przez MNOŻENIE przez stały iloraz q (np. 2, 6, 18, 54). Arytmetyczny rośnie liniowo, a geometryczny wykładniczo.

Tak. Ujemna różnica oznacza ciąg malejący — każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego. Na przykład dla a₁ = 20, r = −3 ciąg wygląda tak: 20, 17, 14, 11, 8... Wzory na n-ty wyraz i sumę działają identycznie niezależnie od znaku różnicy.

Ciągi arytmetyczne pojawiają się wszędzie tam, gdzie coś zmienia się o stałą wartość. Przykłady: regularne oszczędzanie tej samej kwoty co miesiąc, liczba miejsc w kolejnych rzędach widowni rosnąca o stałą wartość, raty malejące o równą kwotę, czy odległości na słupkach kilometrowych przy drodze.

Jeśli pierwszy rząd ma a₁ miejsc, a każdy kolejny r miejsc więcej, to n-ty rząd ma a_n = a₁ + (n − 1) · r miejsc, a łączna liczba miejsc w n rzędach to Sₙ = n · (a₁ + a_n) / 2. Np. pierwszy rząd 20 miejsc, każdy kolejny +2, dla 15 rzędów: a₁₅ = 48, S = 15 · (20 + 48) / 2 = 510 miejsc.

Tak. Numer wyrazu n oznacza pozycję w ciągu (pierwszy, drugi, trzeci...), więc musi być dodatnią liczbą całkowitą. Kalkulator przyjmuje n od 1 do 100000 i zaokrągla wartość w dół do najbliższej liczby całkowitej. Pierwszy wyraz a₁ oraz różnica r mogą być dowolnymi liczbami, także ułamkami i wartościami ujemnymi.

Tak. Podstawiając a_n = a₁ + (n − 1) · r do wzoru na sumę, otrzymujemy Sₙ = n · (2a₁ + (n − 1) · r) / 2. Ten wariant pozwala obliczyć sumę bezpośrednio z a₁, r i n, bez wcześniejszego liczenia ostatniego wyrazu. Oba wzory dają identyczny wynik.