Kalkulator ciągu geometrycznego

Ciąg geometryczny to ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stałą liczbę zwaną ilorazem ciągu (r). Przykładem jest ciąg 2, 4, 8, 16, 32 z ilorazem r=2.

N-ty wyraz ciągu geometrycznego oblicza się ze wzoru: aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹, gdzie a₁ to pierwszy wyraz ciągu, r to iloraz, a n to numer szukanego wyrazu.

Iloraz ciągu geometrycznego (r) to stała liczba, przez którą mnożymy każdy wyraz, aby otrzymać kolejny. Oblicza się go ze wzoru r = aₙ₊₁ / aₙ. Iloraz może być dowolną liczbą różną od zera.

Dla r ≠ 1 suma n wyrazów wynosi Sₙ = a₁ · (rⁿ - 1) / (r - 1). Gdy r = 1, wszystkie wyrazy są równe a₁, więc Sₙ = a₁ · n.

Suma nieskończonego ciągu geometrycznego istnieje tylko wtedy, gdy |r| < 1 (iloraz ma wartość bezwzględną mniejszą od 1). Wynosi ona S = a₁ / (1 - r). Gdy |r| ≥ 1, szereg rozbieżny i suma nieskończona nie istnieje.

Tak, iloraz ciągu geometrycznego może być ujemny. W takim przypadku wyrazy ciągu naprzemiennie przyjmują wartości dodatnie i ujemne. Np. dla a₁=1, r=-2 ciąg to: 1, -2, 4, -8, 16...

W ciągu arytmetycznym każdy wyraz różni się od poprzedniego o stałą różnicę (dodajemy stałą liczbę). W ciągu geometrycznym każdy wyraz jest iloczynem poprzedniego i stałego ilorazu (mnożymy przez stałą liczbę).

Ciąg geometryczny jest wykorzystywany m.in. w obliczeniach procentu składanego, wzrostu populacji, deprecjacji wartości aktywów, fizyce (np. rozpad radioaktywny), muzyce (skala temperowana) oraz informatyce (złożoność algorytmów).

Gdy iloraz r=0, wszystkie wyrazy ciągu od drugiego są równe zero. Matematycznie taki ciąg nie jest uznawany za geometryczny w ścisłym sensie, ponieważ wymaga r ≠ 0. Kalkulator obsługuje jednak tę wartość jako przypadek graniczny.

Kalkulator pozwala obliczyć n-ty wyraz i sumę dla n od 1 do 100. Dla bardzo dużych wartości n przy ilorazie |r| > 1 wyniki mogą być bardzo duże. Przy |r| < 1 i dużym n suma częściowa zbliża się do sumy nieskończonej.