Kalkulator NWD i NWW

NWD dwóch liczb to największa liczba naturalna, która dzieli obie liczby bez reszty. Np. NWD(12, 8) = 4, bo 4 jest największą liczbą dzielącą zarówno 12, jak i 8. NWD stosuje się m.in. do upraszczania ułamków.

NWW dwóch liczb to najmniejsza liczba naturalna, która jest wielokrotnością obu liczb. Np. NWW(4, 6) = 12, bo 12 jest najmniejszą liczbą, którą dzielą zarówno 4, jak i 6. NWW potrzebne jest przy dodawaniu ułamków.

Algorytm Euklidesa oblicza NWD przez wielokrotne dzielenie z resztą: NWD(a, b) = NWD(b, a mod b), aż reszta wyniesie 0. Np. NWD(48, 18): 48 mod 18 = 12, NWD(18, 12): 18 mod 12 = 6, NWD(12, 6) = 6. Wynik: NWD = 6.

Istnieje prosta zależność: NWW(a, b) = (a × b) / NWD(a, b). Wystarczy znać NWD, żeby wyliczyć NWW. Np. NWD(4, 6) = 2, więc NWW(4, 6) = (4×6)/2 = 12.

Aby uprościć ułamek a/b, dzielisz zarówno licznik, jak i mianownik przez NWD(a, b). Np. ułamek 18/24: NWD(18, 24) = 6, więc 18/24 = 3/4. Wynik jest ułamkiem w najprostszej postaci.

Aby dodać ułamki o różnych mianownikach, szukasz NWW mianowników — to będzie wspólny mianownik. Np. 1/4 + 1/6: NWW(4, 6) = 12, więc 1/4 = 3/12 i 1/6 = 2/12, a suma = 5/12.

Rozłóż obie liczby na czynniki pierwsze, a następnie pomnóż wspólne czynniki w jak najmniejszych potęgach. Np. 12 = 2²×3, 18 = 2×3², NWD = 2¹×3¹ = 6.

Rozłóż obie liczby na czynniki pierwsze i pomnóż wszystkie czynniki w jak największych potęgach. Np. 12 = 2²×3, 18 = 2×3², NWW = 2²×3² = 4×9 = 36.

Umownie przyjmuje się, że NWD(a, 0) = a, czyli NWD z zerem to ta druga liczba. Wynika to z algorytmu Euklidesa: jeśli b = 0, to NWD(a, 0) = a. W kalkulatorze jednak przyjmujemy, że obie liczby są dodatnie.

Gdy NWD(a, b) = 1, mówimy, że liczby a i b są wzajemnie pierwsze (kopierwsze). Oznacza to, że nie mają żadnego wspólnego dzielnika poza 1. Np. NWD(9, 14) = 1. Ułamek a/b jest wtedy już w najprostszej postaci.