Калькулятор дисперсії та стандартного відхилення

Дисперсія — це міра розкиду набору даних навколо середнього значення. Дисперсія, що дорівнює нулю, означає, що всі значення однакові. Вища дисперсія вказує на більший розкид. Це фундаментальне поняття статистики, яке використовується в аналізі даних, фінансах та науці.

Для генеральної сукупності: sigma^2 = suma(xi - середнє)^2 / N. Для вибірки: s^2 = suma(xi - середнє)^2 / (n-1). Де xi — окремі значення, середнє — середнє арифметичне, N або n — кількість елементів. Знаменник (n-1) для вибірки називається поправкою Бесселя.

Дисперсія виражається в квадратних одиницях (наприклад, см^2 при вимірюванні довжини в см), що ускладнює інтерпретацію. Стандартне відхилення — це квадратний корінь із дисперсії і виражається в тих самих одиницях, що й дані. На практиці частіше повідомляють стандартне відхилення.

Обирайте генеральну сукупність (дільник N), якщо ваші дані охоплюють усю сукупність — наприклад, результати всіх учнів класу. Обирайте вибірку (дільник n-1), якщо ваші дані є випадковою вибіркою з більшої сукупності. Для великих наборів різниця мінімальна, але для малих вибірок скоригована формула дає кращу оцінку.

Дисперсія є сумою квадратів відхилень від середнього. Кожний доданок невідʼємний (квадрат будь-якого дійсного числа >= 0), тому й сума невідʼємна. Дисперсія дорівнює нулю лише тоді, коли всі значення набору однакові.

1) Обчисліть середнє арифметичне. 2) Відніміть середнє від кожного значення. 3) Зведіть кожну різницю у квадрат. 4) Підсумуйте всі квадрати. 5) Поділіть на N (генеральна сукупність) або n-1 (вибірка). Приклад для [2, 4, 6]: середнє=4, відхилення: -2, 0, 2; квадрати: 4, 0, 4; сума=8; дисперсія сукупності = 8/3 ≈ 2,67.

Дисперсія використовується в аналізі фінансових ризиків (вимірювання волатильності цін акцій), контролі якості виробництва, медичній статистиці, машинному навчанні (регуляризація, PCA) та суспільних науках. Вона також є основою дисперсійного аналізу ANOVA.

Дисперсія дуже чутлива до викидів, оскільки відхилення зводяться у квадрат — велике відхилення квадратично посилює свій вплив. Одне значення, далеке від середнього, може суттєво завищити дисперсію. Рекомендується перевіряти набір даних на наявність викидів перед обчисленням.

Розмах (максимум мінус мінімум) — найпростіша міра розкиду, але враховує лише два крайніх значення й дуже чутливий до викидів. Дисперсія враховує всі значення та їх відстані від середнього, що робить її більш репрезентативною мірою. В аналізі даних дисперсія (або стандартне відхилення) є кращим вибором.

Для генеральної сукупності з одного елемента дисперсія дорівнює 0 — одне число не демонструє жодного розкиду. Для вибірки з одного елемента формула вимагає ділення на n-1=0, що математично не визначено. Калькулятор повертає 0 як безпечний запасний варіант. На практиці для значущих статистичних заходів потрібно щонайменше два спостереження.