Kalkulator wariancji i odchylenia standardowego

Wariancja to miara rozproszenia zbioru danych wokol sredniej. Im wyzsza wariancja, tym bardziej wartosci roznia sie miedzy soba. Wariancja rowna zero oznacza, ze wszystkie wartosci sa identyczne. Jest podstawowym pojeciem statystyki opisowej, uzywana m.in. w analizie danych, finansach i naukach przyrodniczych.

Dla populacji: sigma^2 = suma(xi - srednia)^2 / N. Dla proby: s^2 = suma(xi - srednia)^2 / (n-1). Gdzie xi to kolejne wartosci, srednia to srednia arytmetyczna, N lub n to liczba elementow. Podzielnik (n-1) w probce to tzw. poprawka Bessela — koryguje niedoszacowanie rozproszenia.

Wariancja jest wyrazona w jednostkach kwadratowych (np. cm^2 jesli mierzymy dlugosc w cm), co utrudnia interpretacje. Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji i wyraza sie w tych samych jednostkach co dane. Dlatego w praktyce czesciej podaje sie odchylenie standardowe, a wariancja sluzy jako krok posredni w obliczeniach.

Wybierz populacje (dzielnik N), gdy dysponujesz danymi calej populacji — np. wyniki wszystkich uczniow w klasie. Wybierz probe (dzielnik n-1), gdy Twoje dane to probka losowa z wiekszej populacji — np. wyniki ankiety na 100 osobach. Dla duzych zbiorow roznica jest minimalna, ale dla malych probek korygowany wzor daje lepsze oszacowanie.

Wariancja jest suma kwadratow odchylen od sredniej. Kazdy skladnik jest nieujemny (kwadrat dowolnej liczby >= 0), wiec suma rowniez jest nieujemna. Wariancja rowna zero wystepuje wylacznie wtedy, gdy wszystkie wartosci w zbiorze sa jednakowe.

1) Oblicz srednia arytmetyczna zbioru. 2) Odejmij srednia od kazdej wartosci. 3) Podniesc kazda roznice do kwadratu. 4) Zsumuj wszystkie kwadraty. 5) Podziel przez N (populacja) lub n-1 (proba). Przyklad dla [2, 4, 6]: srednia=4, odchylenia: -2, 0, 2; kwadraty: 4, 0, 4; suma=8; wariancja populacji=8/3 ≈ 2,67.

Wariancja jest uzywana w analizie ryzyka finansowego (mierzy zmiennosc cen akcji), kontroli jakosci produkcji (rozrzut wymiarow), statystyce medycznej (zroznicowanie wynikow pomiarow), uczeniu maszynowym (regularyzacja, PCA) oraz naukach spolecznych. Jest rowniez podstawa analizy wariancji ANOVA uzywana do porownywania grup.

Wariancja jest bardzo wrazliwa na wartosci odstajace, poniewaz odchylenia sa podnoszone do kwadratu — duze odchylenie kwadratowo wzmacnia swoj wplyw. Jedna bardzo odlegla od sredniej wartosc moze znaczaco zawyzyc wariancje. Dlatego przed obliczeniem warto sprawdzic zbior pod katem outlerow lub rozwazyc uzywanie bardziej odpornych miar rozproszenia.

Rozstep (maksimum minus minimum) to najprostsza miara rozproszenia, ale uwzglednia tylko dwie skrajne wartosci i jest bardzo wrazliwy na outlery. Wariancja uwzglednia wszystkie wartosci i ich odleglosc od sredniej, przez co jest miara bardziej reprezentatywna i stabilna. W analizie danych wariancja (lub odchylenie standardowe) jest preferowana nad rozstepem.

Dla populacji jednoelementowej wariancja wynosi 0 — jedna liczba nie wykazuje zadnego rozproszenia. Dla proby jednoelementowej wzor wymagalby podzielenia przez n-1=0, co jest niezdefiniowane matematycznie. Kalkulator w takim przypadku zwraca wariancje 0 jako wartosc bezpieczna. W praktyce do obliczania statystyk potrzeba co najmniej dwoch obserwacji.